• Dạng 0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}} đối với giới hạn tại một điểm

Ví dụ 1:

lim x → 4 f ( x ) = x 2 − 16 x − 4 {\displaystyle \lim _{x\to 4}f(x)={\frac {x^{2}-16}{x-4}}}

Bước 1: Ta thế 4 vào phương trình f(x) thì sẽ được dạng 0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}} nên khẳng định đây là dạng 0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}} .

Bước 2: Biến đổi:

lim x → 4 f ( x ) = x 2 − 16 x − 4 {\displaystyle \lim _{x\to 4}f(x)={\frac {x^{2}-16}{x-4}}}

<=> lim x → 4 f ( x ) = ( x − 4 ) ( x + 4 ) x − 4 {\displaystyle \lim _{x\to 4}f(x)={\frac {(x-4)(x+4)}{x-4}}} <=> lim x → 4 f ( x ) = x + 4 {\displaystyle \lim _{x\to 4}f(x)=x+4}

Lúc này ta sẽ thế 4 vào sẽ được lim x → 4 f ( x ) = 8 {\displaystyle \lim _{x\to 4}f(x)=8}

Ví dụ 2:

lim x → 0 9 + 5 x + 4 x 2 − 3 x {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt {9+5x+4x^{2}}}-3}{x}}}

Lúc này ta biến đổi nó bằng cách nhân lượng liên hợp cho cả tử và mẫu:

lim x → 0 9 + 5 x + 4 x 2 − 3 x {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt {9+5x+4x^{2}}}-3}{x}}}

= lim x → 0 ( 9 + 5 x + 4 x 2 − 3 ) ( 9 + 5 x + 4 x 2 + 3 ) x ( 9 + 5 x + 4 x 2 + 3 ) {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {({\sqrt {9+5x+4x^{2}}}-3)({\sqrt {9+5x+4x^{2}}}+3)}{x({\sqrt {9+5x+4x^{2}}}+3)}}} = lim x → 0 9 + 5 x + 4 x 2 − 9 x ( 9 + 5 x + 4 x 2 + 3 ) {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {9+5x+4x^{2}-9}{x({\sqrt {9+5x+4x^{2}}}+3)}}} = lim x → 0 5 x + 4 x 2 x ( 9 + 5 x + 4 x 2 + 3 ) {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {5x+4x^{2}}{x({\sqrt {9+5x+4x^{2}}}+3)}}}

Ta chia cả tử và mẫu cho x, ta được: lim x → 0 5 + 4 x 9 + 5 x + 4 x 2 + 3 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {5+4x}{{\sqrt {9+5x+4x^{2}}}+3}}}

Thế 0 vào ta được 5 6 {\displaystyle {\frac {5}{6}}}

• Dạng ∞ ∞ {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}} đối với giới hạn vô cực: Ta chia cho số mũ lớn nhất của tử và mẫu.

Ví dụ 1: Dạng đã biến đổi

lim x → + ∞ 4 x 2 − x − 1 3 + 2 x 2 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {4x^{2}-x-1}{3+2x^{2}}}}

Lúc này ta thấy số mũ lớn nhất của tử và mẫu là x2, vì vậy ta sẽ chia cả tử và mẫu cho x2

lim x → + ∞ 4 x 2 − x − 1 3 + 2 x 2 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {4x^{2}-x-1}{3+2x^{2}}}}

= lim x → + ∞ 4 − 1 x − 1 x 2 3 x 2 + 2 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {4-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}}{{\frac {3}{x^{2}}}+2}}} = 2

Ví dụ 2: Dạng chưa biến đổi

lim x → + ∞ ( x 2 − 2 x + 1 ) {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }(x^{2}-{\frac {2}{x+1}})}

= lim x → + ∞ x 3 + x 2 − 2 x + 1 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{3}+x^{2}-2}{x+1}}} = lim x → + ∞ 1 + 1 x − 2 x 3 1 x 2 + 1 x 3 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {1+{\frac {1}{x}}-{\frac {2}{x^{3}}}}{{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{x^{3}}}}}} = + ∞ {\displaystyle +\infty }

Lưu ý: Dạng ∞ ∞ {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}} không phải chỉ áp dụng với dạng phân thức mà kể cả đa thức. VD: lim x → + ∞ ( − x 2 + n n + 1 ) {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }(-x^{2}+n{\sqrt {n}}+1)}

• Dạng ∞ − ∞ {\displaystyle \infty -\infty } : Ta sẽ nhân lượng liên hợp

Ví dụ:

lim x → + ∞ ( n 2 + n − n 2 − 1 ) {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }({\sqrt {n^{2}+n}}-{\sqrt {n^{2}-1}})}

= lim x → + ∞ ( n 2 + n − n 2 − 1 ) ( n 2 + n + n 2 − 1 ) n 2 + n + n 2 − 1 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {({\sqrt {n^{2}+n}}-{\sqrt {n^{2}-1}})({\sqrt {n^{2}+n}}+{\sqrt {n^{2}-1}})}{{\sqrt {n^{2}+n}}+{\sqrt {n^{2}-1}}}}} = lim x → + ∞ n + 1 n 2 + n + n 2 − 1 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {n+1}{{\sqrt {n^{2}+n}}+{\sqrt {n^{2}-1}}}}} = lim x → + ∞ n ( 1 + 1 n ) n 1 + 1 n + n 1 − 1 n 2 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {n(1+{\frac {1}{n}})}{n{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}+n{\sqrt {1-{\frac {1}{n^{2}}}}}}}} = lim x → + ∞ 1 + 1 n 1 + 1 n + 1 − 1 n 2 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {1+{\frac {1}{n}}}{{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{n^{2}}}}}}}} = 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}

• Dạng 0. ∞ {\displaystyle \infty } : ta biến đổi về dạng ∞ ∞ {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}} hoặc dạng 0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}}

Ví dụ:

lim x → 3 + ( x − 3 ) x x 2 − 9 {\displaystyle \lim _{x\to 3^{+}}(x-3){\sqrt {\frac {x}{x^{2}-9}}}}

= lim x → 3 + ( x − 3 ) x x + 3 x − 3 {\displaystyle \lim _{x\to 3^{+}}(x-3){\frac {\sqrt {x}}{{\sqrt {x+3}}{\sqrt {x-3}}}}} = lim x → 3 + x − 3 x x + 3 {\displaystyle \lim _{x\to 3^{+}}{\frac {{\sqrt {x-3}}{\sqrt {x}}}{\sqrt {x+3}}}} = 0